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Konvertierung in Html, Verschiebung des Kapitel Planarität von Polygonen, Neues Kapitel CompositeSolid

Konvertierung in Html, Verschiebung des Kapitel Planarität von Polygonen, Neues Kapitel CompositeSolid

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== Vorbemerkungen ==

== Vorbemerkungen ==

* Ein planarer linearer Ring <math>R_s</math> definiert den Rand eines Polygons <math>S</math> (äußerer Ring).

* Ein planarer linearer Ring <math>R_s</math> definiert den Rand eines Polygons <math>S</math> (äußerer Ring).

* Ein Polygon ist durch genau einen solchen äußeren Ring und <math>n\ge0</math> innere Ringe definiert. Jeder innere lineare Ring muss ebenfalls planar sein, und der äußere und alle inneren linearen Ringe müssen in derselben Ebene (im Rahmen einer gegebenen Toleranz) liegen.

* Ein Polygon ist durch genau einen solchen äußeren Ring und <math>n\ge0</math> innere Ringe definiert. Jeder innere lineare Ring muss ebenfalls planar sein, und der äußere und alle inneren linearen Ringe müssen in derselben Ebene (im Rahmen einer gegebenen Toleranz) liegen.

* Jeder innere lineare Ring muss innerhalb des Gebiets der Ebene liegen, das der äußere Ring begrenzt.

* Jeder '''innere''' lineare Ring '''muss innerhalb des Gebiets''' der Ebene liegen, das der '''äußere''' Ring begrenzt.

* Die inneren linearen Ringe dürfen nicht verschachtelt sein, d.h. kein innerer Ring liegt in dem Gebiet der Ebene, das ein anderer innerer Ring definiert.  

* Die inneren Ringe und der äußere Ring dürfen sich paarweise in endlich vielen Punkten berühren. Dabei muss das Innere  des Polygons zusammenhängend sein.  

* Die inneren linearen Ringe dürfen nicht verschachtelt sein, d.h. kein innerer Ring liegt in dem Gebiet der Ebene, das ein anderer innerer Ring definiert.

* Die inneren Ringe und der äußere Ring dürfen sich paarweise in '''endlich !!!!! (evtl. nur einer)''' vielen Punkten berühren. Dabei muss das Innere  des Polygons zusammenhängend sein.

* Die Reihenfolge der Punkte des äußeren Linear Rings definiert die '''Orientierung''' des Polygons. In  <math>R</math> existieren mindestens drei nicht ko-lineare Punkte  <math>P_i</math>, <math>P_j</math> und  <math>P_k</math>, die eine Ebene <math>E(P_i,P_j,P_k)</math> aufspannen. Der Vektor <math>\vec n</math> , der sich aus dem normalisieren Kreuzprodukt der beiden Vektoren <math>\vec{P_iP_j}</math>  und  <math>\vec{P_jP_k}</math>  ergibt, wird als Flächennormale des Polygons bezeichnet:  

* Die Reihenfolge der Punkte des äußeren Linear Rings definiert die '''Orientierung''' des Polygons. In  <math>R</math> existieren mindestens drei nicht ko-lineare Punkte  <math>P_i</math>, <math>P_j</math> und  <math>P_k</math>, die eine Ebene <math>E(P_i,P_j,P_k)</math> aufspannen. Der Vektor <math>\vec n</math> , der sich aus dem normalisieren Kreuzprodukt der beiden Vektoren <math>\vec{P_iP_j}</math>  und  <math>\vec{P_jP_k}</math>  ergibt, wird als Flächennormale des Polygons bezeichnet:  

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Eine CompositeSurface ist eine Menge <math>C=\lbrace S_1,S_2,...,S_n \rbrace</math> von Polygonen, für die  

 

Eine [http://www.schemacentral.com/sc/niem21/e-gml32_CompositeSurface.html '''CompositeSurface''']

ist eine Menge <math>C=\lbrace S_1,S_2,...,S_n \rbrace</math> von Polygonen, für die  

folgendes gilt:

folgendes gilt:

# Die Schnittmenge zweier Polygone <math>S_k</math>  und <math>S_l</math>  aus <math>C</math>  ist entweder leer oder besteht nur aus Punkten und Kanten, die auch in den beiden linearen Ringen vorkommen. Bezeichne <math>R_k=(P_0^k,P_1^k,...,P_n^k)</math>  den planaren linearen Ring, der das Polygon <math>S</math> definiert. Dann gilt:<br><math>S_i \cap S_k= \begin{cases}\emptyset\\ \lbrace Q_0,Q_1,...,Q_m\rbrace,Q_j=P_k^i\\ \lbrace e_0,e_1,...,e_m\rbrace,e_j=\overline{P_i^kP_{i+1}^k} \end{cases}</math>

# Die Schnittmenge zweier Polygone <math>S_k</math>  und <math>S_l</math>  aus <math>C</math>  ist entweder leer oder besteht nur aus Punkten und/oder Kanten, die auch in den beiden linearen Ringen vorkommen. Bezeichne <math>R_k=(P_0^k,P_1^k,...,P_n^k)</math>  den planaren linearen Ring, der das Polygon <math>S</math> definiert. Dann gilt:<br><math>S_i \cap S_k= \begin{cases}\emptyset\\ \lbrace Q_0,Q_1,...,Q_m\rbrace,Q_j=P_k^i\\ \lbrace e_0,e_1,...,e_m\rbrace,e_j=\overline{P_i^kP_{i+1}^k} \end{cases}</math>

# Jede Kante <math>e_k=\overline{P_i^kP_{i+1}^k}</math> eines linearen Rings <math>R_k=(P_0^k,P_1^k,...,P_n^k)</math> , der ein Polygon <math>S_k \in C</math>  definiert, wird höchstens  einmal als Kante <math>e_l=\overline{P_j^lP_{j+1}^l}</math>  in einem linearen Ring <math>R_l=(P_0^l,P_1^l,...,P_m^l)</math>  genutzt, der ein anderes Polygon <math>S_l \in C</math>  definiert.<br>Es gilt <math>P_i^k=P_{j+1}^l</math>  und <math>P_{i+1}=P_j^l</math>.

# Jede Kante <math>e_k=\overline{P_i^kP_{i+1}^k}</math> eines linearen Rings <math>R_k=(P_0^k,P_1^k,...,P_n^k)</math> , der ein Polygon <math>S_k \in C</math>  definiert, wird höchstens  einmal als Kante <math>e_l=\overline{P_j^lP_{j+1}^l}</math>  in einem linearen Ring <math>R_l=(P_0^l,P_1^l,...,P_m^l)</math>  genutzt, der ein anderes Polygon <math>S_l \in C</math>  definiert.<br>Es gilt <math>P_i^k=P_{j+1}^l</math>  und <math>P_{i+1}=P_j^l</math>.

# Die Polygone aus <math>C</math> sind so orientiert, dass die Flächennormale benachbarte Polygone in dieselbe Richtung zeigen.

# Die Polygone aus <math>C</math> sind so orientiert, dass die Flächennormale benachbarte Polygone in dieselbe Richtung zeigen.

# Sei <math>C'</math> die Vereinigung aller Polygone aus <math>C</math>. Dann ist die Begrenzung von <math>C'</math> (die Oberfläche von <math>C'</math> ohne die Segmente oder Punkte, in denen sich die Polygone berühren) die Begrenzung eines Polygons.  

# Die Vereinigung aller Polygone aus <math>C</math> ohne die Kanten oder Punkte, in denen sich die Polygone berühren, ist isomorph zu einem Polygon.  

Aus (1) und (2) ergibt sich, dass die Oberfläche, die durch  <math>C</math>  beschrieben wird, keine sich gegenseitig überlappenden oder durchdringenden Polygone enthalten darf (Polygone berühren sich höchstens in Punkten oder Segmenten). Mit der weiteren Bedingung (4) ergibt sich, dass die durch <math>C</math> beschriebene Oberfläche isomorph zu einem Polygon ist. 

Aus (1) und (2) ergibt sich, dass die Oberfläche, die durch  <math>C</math>  beschrieben wird, keine sich gegenseitig überlappenden oder durchdringenden Polygone enthalten darf (Polygone berühren sich höchstens in Punkten oder Kanten).

== <span id="Solid"> [http://www.schemacentral.com/sc/niem21/e-gml32_Solid.html gml:Solid]</span>==

== <span id="Solid"> [http://www.schemacentral.com/sc/niem21/e-gml32_Solid.html gml:Solid]</span>==

# Es gibt mindestens drei Kontrollpunkte.

# Es gibt mindestens drei Kontrollpunkte.

# Die Oberfläche, die durch das TIN repräsentiert ist, hängt nicht von der Reihenfolge der Kontrollpunkte ab. Anwendungsschemata können Angaben zur Reihenfolge der Kontrollpunkte beinhalten, um die Rekonstruktion des TIN aus den Kontrollpunkten zu beschleunigen.

# Die Oberfläche, die durch das TIN repräsentiert ist, hängt nicht von der Reihenfolge der Kontrollpunkte ab. Anwendungsschemata können Angaben zur Reihenfolge der Kontrollpunkte beinhalten, um die Rekonstruktion des TIN aus den Kontrollpunkten zu beschleunigen.